Das einfachst mögliche Molekül ist das Wasserstoff-Molekülion, bestehend aus zwei Protonen und einem Elektron. Schon dieses Beispiel ist jedoch analytisch nicht lösbar, da es sich um ein Dreikörperproblem handelt. Man kann sich allerdings zu Nutze machen, dass die Protonen vier Größenordnungen schwerer als das Elektron sind, sodass die Dynamik der Protonen aus Sicht der Elektronen in sehr guter Näherung eingefroren ist. Das erlaubt einen Separationsansatz, bei dem Kerndynamik und Elektronendynamik getrennt voneinander betrachtet werden. Diese Überführung in ein eingeschränktes Dreikörperproblem wird als Born-Oppenheimer-Näherung bezeichnet. Das Potential, in dem sich das Elektron befindet, kann dann z.B. durch ein Softcore-Coulomb-Potential beschrieben werden:

Im unterschied zum harten Coulomb-Potential ist hier der zusätzliche Parameter ε vorhanden, der die Divergenzen am Ort der Protonen (x = ±R/2, z = 0) aufhebt. Die numerischen Lösungen der zugehörigen Schrödingergleichung für das Elektron sind unten abgebildet. Die Protonen sind hierin die roten Punkte in der x-z-Ebene, wobei die Wellenfunktion der Elektronen in y-Richtung aufgetragen sind. Positive Werte der Wellenfunktion sind blau, negative Werte rot schraffiert.

Die Schrödingergleichung produziert offenkundig zwei Lösungen, die sich in ihrer Konsequenz für die Molekülbindung drastisch unterscheiden. Die obige, auch als bindend bezeichnete Lösung, hat eine nichtverschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Elektron zwischen den Protonen. D.h., dass das Elektron attraktiv auf beide Protonen wirken und die abstoßende Coulomb-Kraft zwischen den Protonen abschirmen kann. Dadurch entsteht ein Energieminimum, welches die Molekülbindung ermöglicht.

Die unten abgebildete auch als antibindend bezeichnete Lösung hingegen hat stets eine verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den Protonen. Dadurch kann die repulsive Kraft zwischen den Protonen nicht abgeschirmt werden, bzw. es gibt kein Energieminimum und es kommt keine Molekülbindung zustande.