Statistische Physik

Ungeordnete Systeme

 

Der große Erfolg der statistischen Physik in der Beschreibung von makroskopischen Eigenschaften kondensierter Materie beruht oft auf der Translationsinvarianz dieser Systeme. Bekannte Beispiele sind die Wärmekapazität kristalliner Festkörper, der Phasenübergang vom Para- zum Ferromagneten und Supraleitung in Metallen. Andererseits sind Abweichungen von der Translationssymmetrie in vielen realen Systemen nicht einfach nur "Dreckeffekte", sondern Manifestation wirklich neuer Eigenschaften wie konkurrierender Wechselwirkungen, Frustration, hochgradig entarteter Grundzustände, nichtergodischer Dynamik und hysteretischer Antwort.


Spingläser sind Modellsysteme, in denen magnetische  Momente über zufällige Kopplungen miteinander wechselwirken, und die dadurch sowohl Unordnung als auch Frustration aufweisen. Ihre Eigenschaften, die man im Rahmen analytischer und numerischer Untersuchungen erhalten kann, zeigen viele Ähnlichkeiten mit realen ungeordneten Magneten und strukturellen Gläsern. Außerdem haben die Methoden und Konzepte, die für ihre theoretische Beschreibung entwickelt wurden, interessante Anwendungen in interdisziplinären Bereichen gefunden wie z.B. in der Informationstheorie, der komplexen Optimierung, bei fehlerkorrigierenden Codes, in  der algorithmischen Komplexitätstheorie und in der Spieltheorie.

 

 

Künstliche neuronale Netze

A. Engel and C. van den Broeck,"Statistical mechanics of learning",
Cambridge University Press, 2001

(die ersten 42 Seiten, 183 kB, gzipped postscript)  

Die überraschenden Fähigkeiten zur Informationsverarbeitung, die biologische neuronale Netze aufweisen, liegen weit jenseits der Fähigkeiten einzelner Neuronen und stellen daher wesentlich kollektive Eigenschaften dar. Als solche sind sie zumindest teilweise einer Analyse mit Hilfe der statistischen Mechanik zugänglich. In der Tat ist es möglich, einige dieser Fähigkeiten neuronaler Netze wie Speicherung, Klassifizierung und Lernen aus Beispielen mathematisch zu charakterisieren, indem man Konzepte aus der statistischen Mechanik ungeordneter Systeme benutzt. Insbesondere der Prozess der Verallgemeinerung von einzelnen Beispielen auf die zugrunde liegende Regel stellt ein sehr interessantes Problem im "machine learning" dar. Darüberhinaus ist es eine attraktive Alternative zum expliziten Programmieren in Situationen, in denen eine Aufgabe von einem Computer ausgeführt werden sollte, es aber schwierig ist, einen expliziten Algorithmus anzugeben. Das oben genannte Lehrbuch diskutiert und analysiert verschiedene Aspekte des Lernens aus Beispielen in künstlichen neuronalen Netzen vom Standpunkt der statistischen Mechanik aus.




Replikatheorie für Lévy-Spingläser

K. Janzen, A. Hartmann, A. Engel, J. Stat. Mech. P04006

Mean-Field-Modelle von Spingläsern mit gaußverteilten Kopplungen können mit verschiedenen analytischen Techniken untersucht werden, besonders erfolgreich sind hierbei die Replika- und die Cavity-Methode. Für beide ist die Anwendbarkeit des zentralen Grenzwertsatzes der Statistik von entscheidender Bedeutung. Reale Spingläser, in denen magnetische Ionen auf einem nichtmagnetischen Gitter zufällig verteilt sind, zeigen hingegen große Variationen in der Wechselwirkungsstärke zwischen den magnetischen Momenten. Sie werden daher besser durch Kopplungsverteilungen mit langen Schwänzen modelliert, wie sie für Lévy-Verteilungen charakteristisch sind. Für diese wiederum gilt der zentrale Grenzwertsatz aber nicht. Ein Mean-Field-Modell eines Spinglases mit lévyverteilten Kopplungen zeigt viele interessante Eigenschaften und interpoliert zwischen dem vollvernetzten Sherrington-Kirkpatrick-Modell und dem nur endlich vernetzten Viana-Bray-Modell. Die Ergebnise einer Replika-Behandlung, die auf Zwischenschritten der Analyse eine imaginäre Temperatur benutzt, stimmt nur teilweise mit den Resultaten einer früheren Cavity-Analyse überein, welche auf der Annahme einer Gaußverteilung für lokale Magnetfelder beruht.

 

 

Seltene Konfigurationen in Erdös-Rényi-Zufallsgraphen

A. Engel, R. Monasson, A. Hartmann, J. Stat. Phys. 117 (2004) 387

Eigenschaften von Zufallsgraphen sind zentral für viele Fragestellungen in der komplexen Optimierung und der algorithmischen Komplexitätstheorie. Darüberhinaus sind sie als Modelle für trophische Netze in Ökosystemen, Verkehrsnetze und das Internet interessant. Seit über 40 Jahren ist bekannt, dass große Zufallsgraphen hauptsächlich durch ihre typischen Eigenschaften charakterisiert werden, die daher ausführlich untersucht worden sind. Andererseits sind viele wichtige Merkmale, wie z. B. die Sensibilität des Netzwerkes auf das Ausfallen eines einzelnen Knotenpunktes oder die Tendenz einen Stau auszubilden, von spezifischen, seltenen Eigenschaften oder Konfigurationen abhängig. Obwohl diese nur mit einer exponentiell geringen Wahrscheinlichkeit auftreten, können sie das Gesamtverhalten des Netzes dominieren. Eine systematische Untersuchung seltener Eigenschaften von Erdös-Rényi-Graphen kann durchgeführt werden, indem man die Abbildung von Zufallsgraphen auf das Potts-Modell ausnutzt bzw. eine Variante der Cavity-Methode aus der statistischen Mechanik ungeordneter Systeme anwendet.