Forschung im Bereich Analysis

Hier stellen wir die Themen im Bereich Analysis, an denen im Institut geforscht wird, kurz vor. Genaueres, z.B. die Publikationen der einzelnen Forscher, finden Sie auf deren persönlichen Webseiten. Eine Liste der Drittmittelprojekte finden Sie hier.

Partielle Differentialgleichungen, Spektraltheorie, Modellierung

Die Beschreibung naturwissenschaftlicher Phänomene führt häufig zu partiellen Differentialgleichungen. Wichtige Hilfsmittel zur Behandlung dieser Gleichungen sind Distributionentheorie, Funktionalanalysis und Funktionentheorie. In der Spektraltheorie untersucht man das Spektrum (z.B. die Eigenwerte) partieller Differentialoperatoren. Dieses spielt sowohl in Physik und Chemie (Energieniveaus quantenmechanischer Systeme) als auch in verschiedensten Gebieten der Mathematik eine wichtige Rolle. Unter mathematischer Modellierung ist neben dem Aufstellen neuer Gleichungen die Analysis und Vereinfachung gegebener Gleichungen aus Naturwissenschaft und Ökonomie zu verstehen.
Am Institut wird speziell gearbeitet über: Distributionentheorie, Elementarlösungen, Lösungsoperatoren, Singularitäten, Spektraltheorie partieller Differentialoperatoren, Spektralgeometrie, Pseudodifferentialoperatoren, Quantengraphen, Dynamik nichtlinearer partieller Differentialgleichungen, Stabilitätstheorie, Amplitudengleichungen.

D. Grieser
B. Vertman
M. Behr
M. Dafinger
M. Langenbruch
H. Uecker

Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis behandelt Fragen der Analysis (wie Lösungen von Differentialgleichungen, Integralgleichungen, Approximation durch "einfache" Funktionen) mit algebraischen, topologischen und geometrischen Methoden. Am Fachbereich wird speziell gearbeitet über:

  • lokale Banachraumtheorie
  • Operatoren in Banachräumen
  • Tensorproduktmethoden
  • Frécheträume
  • M-Ideale
  • Distributionentheorie
  • Partielle Differentialgleichungen

A. Defant
P. Harmand
M. Langenbruch
I. Schoolmann
 

Globale Analysis und Geometrie singulärer Räume

In der globalen Analysis untersucht man, wie die Lösbarkeit gewisser partieller Differentialgleichungen mit 'globalen' (topologischen) Eigenschaften des zugrundeliegenden Raumes zusammenhängen. Zum Beispiel ist ein rotationsfreies Vektorfeld in der Ebene automatisch der Gradient einer Funktion, während dies für rotationsfreie Vektorfelder auf der punktierten Ebene im Allgemeinen nicht gilt.
Das Differentialgleichungsproblem 'Ist ein rotationsfreies Vektorfeld automatisch ein Gradientenfeld?' kann also 'erkennen', ob der zugrundeliegende Raum (Ebene bzw. punktierte Ebene) ein Loch hat oder nicht. Die Weiterentwicklung dieser Idee führt zur de Rham-Kohomologie und Hodge-Theorie und in seiner allgemeinsten Form zum berühmten Indexsatz von Atiyah und Singer.
Die globale Analysis nimmt nicht nur in der modernen Mathematik einen festen Platz ein, sondern auch in der theoretischen Physik.

Ein Schwerpunkt aktueller Forschung liegt auf der Frage, ob sich die Ideen der globalen Analysis vom Kontext glatter, kompakter Mannigfaltigkeiten auf singuläre und nicht-kompakte Räume verallgemeinern lassen. Ein Beispiel eines singulären Raumes ist der Kegel. Allgemeiner sind semialgebraischen Mengen von Interesse, d.h. Mengen, die durch Gleichungen und Ungleichungen von Polynomen (in mehreren Variablen) beschrieben werden können.
Eng verwandt hiermit und noch grundlegender sind geometrische Fragen über singuläre Räume. Zum Beispiel: Wie verlaufen die Geodäten (kürzesten Linien) nahe den Singularitäten? Wie berechnet man approximativ das Volumen kleiner Bälle um singuläre Punkte?

A. Beyer
M. Dafinger
D. Grieser

Komplexe Analysis

Die Komplexe Analysis beschäftigt sich mit holomorphen Funktionen in mehreren Veränderlichen, bzw. auf komplexen Mannigfaltigkeiten oder komplexen Räumen. Neu in der mehrdimensionalen Theorie ist das Phänomen, daß es Gebiete gibt, so daß jede dort holomorphe Funktion automatisch in ein echt größeres Gebiet holomorph fortsetzbar ist. Dies führt zu Begriffen wie Holomorphiegebiet und Holomorphiehülle. Ebenfalls neu ist, daß es kein Modellgebiet wie beim Riemann'schen Abbildungssatz in der Ebene gibt. Das Studium biholomorpher Äquivalenz führt zu den invarianten Pseudometriken bzw. Pseudodistanzen.

Zur Bearbeitung vorliegender Fragen werden unter anderem Informationen aus Gebieten wie Analysis, Topologie, Algebra, Funktionalanalysis, partielle Differentialgleichungen benutzt.

Seit 1981 besteht eine intensive Zusammenarbeit mit der Gruppe "Komplexe Analysis" der Jagellonen Universität Krakau (Prof. Dr. M. Jarnicki).


P. Pflug