Globale Analysis I

Die Vorlesung Globale Analysis I bildet einen Einstieg in die Analysis auf Mannigfaltigkeiten. Im Prinzip studiert sie das Wechselspiel zwischen Geometrie und (partiellen) Differentialgleichungen. Dabei hat die globale Struktur der Mannigfaltigkeit oft erstaunliche Auswirkungen auf das Lösungsverhalten der jeweiligen Differentialgleichung.

Eine Reihe mathematischer Disziplinen, wie Geometrie, Topologie und Partielle Differentialgleichungen, kommen in der Globalen Analysis zusammen. Ferner ist sie von großer Bedeutung für die mathematische Physik. Themenschwerpunkte der Vorlesung sind

  • Differentialformen und der Satz von Stokes
  • Vektorfelder und verwandte Themen
  • Vektorbündel und Differentialoperatoren
  • De Rham Kohomologie und Hodge Theorie

Vorkenntnisse

Die Vorlesung richtet sich an Studierende ab dem fünften Semester. Vorausgesetzt werden die Vorlesungen Lineare Algebra I bis II und Analysis I bis III. Grundkenntnisse aus der Differentialtopologie und Funktionalanalysis sind vorteilhaft aber nicht Bedingung. Zur Vertiefung des Stoffes wird die Vorlesung von Übungen begleitet.

Als Einführung in die Theorie der Mannigfaltigkeiten bieten sich an:

  • Abraham, Marsden, Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications, Springer
  • Guillemin, Pollack: Differential Topology
  • Chern, S.S.; Chen, W.H.; Lam, K.S.: Lectures on differential geometry, 1999.
  • Jänich K.: Vektoranalysis. Spinger, 1992.
  • Milnor, J.W.: Topology from a differential viewpoint. Princeton, 1997.
  • Bröcker T., Jänich K.: Einführung in die Differentialtopologie, Springer, 1973.
  • O'Neill B., Semi-Riemannian Geometry, Academic Press, 1983.

Globale Analysis II

Wir werden das lokale und globale Verhalten linearer elliptischer Gleichungen auf Mannigfaltigkeiten behandeln.
Die wesentliche Methodik hierzu ist unter dem Stichwort "mikrolokale Analysis" bekannt geworden.
Die Vorlesung richtet sich an Studenten mit Interesse an Globaler Analysis und/oder partiellen Differentialgleichungen.

Themen

  • Distributionen und Fouriertransformation
  • Oszillatorische Integrale und Methode der stationären Phase
  • Fourierintegraloperatoren, insbesondere Pseudodifferentialoperatoren
  • Regularitätstheorie elliptischer Gleichungen
  • Cauchy-Problem für hyperbolische Gleichungen und Anwendungen (optional)
  • Bezüge zur theoretischen Mechanik/symplektischen Geometrie. (optional)

Vorkenntnisse

Vorausgesetzt werden die Grundvorlesungen sowie die wesentlichen Inhalte der Vorlesung Globale Analysis I.

Literatur

  • M. Shubin: Pseudodifferential operators and spectral theory. Springer, 1978
  • A. Grigis, J. Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators. An introduction. London Mathematical Society Lecture Note Series No. 196, Cambridge University Press, 1994
  • L. Hörmander. The analysis of linear partial differential operators, volume 1-4. Springer, 1983.

Geometrie und Topologie

Die Vorlesung bietet einen Einblick in das Themengebiet der modernen Geometrie sowie Topologie. Mögliche Inhalte umfassen

  • Topologische und metrische Räume, Stetigkeit, Kompaktheit, Zusammenhang,
  • Fundamentalgruppe, Überlagerungstheorie,
  • Mannigfaltigkeiten, Satz von Stokes,
  • Satz von Gauß-Bonnet,
  • Morse Theorie.

Ergänzende Literatur

  • Jänich "Topologie",
  • B.v. Querenburg "Mengentheoretische Topologie",
  • Steen und Seebach "Counterexamples in Topology",

Spezielle Funktionen in der Mathematischen Physik

Das Seminar befasst sich mit konkreten Problemen aus der Globalen Analysis. Wir studieren typische Differentialgleichungen der mathematischen Physik und deren Lösungen - die speziellen Funktionen. Wichtige Beispiele hierfür sind der Harmonische Oszillator, die Schrödinger Gleichung für rotationssymmetrische Potentiale sowie die quantenmechanische Beschreibung des Wasserstoffatoms. Eine weitere typische Anwendung ist die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen in der Quantenmechanik.

Die zu diesen physikalischen Fragestellungen assoziierten gewöhnlichen Differentialgleichungen sind unter anderem die Legendresche, Hermitesche, Besselsche und hypergeometrische Differentialgleichung. Im Rahmen des Seminars sollen einige dieser Differentialgleichungen und die entsprechenden speziellen Funktionen genauer analysiert und angewendet werden.

Literatur:

  • [BGV] Berline, Getzler, Vergne "Heat Kernels and Dirac Operators",
  • [Hel] S. Helgason "Groups and Geometric Analysis",
  • [Leb] N. N. Lebedev "Special Functions and their Applications".
  • [Tay] M. Taylor "Partial Differential Equations II",
  • [Tri] H. Triebel "Höhere Analysis",
  • [Wei] J. Weidmann "Lineare Operatoren in Hilberträumen, Teil I".

Differentialtopologie und Quantenfeldtheorie

Das 20. Jahrhundert war Schauplatz einer intensiven und fruchtbaren Interaktion zwischen Mathematik und Physik. Neue physikalische Theorien der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, wie Relativitätstheorie und Quantenmechanik, wurden erst durch grundlegende Erkenntnisse der Differentialgeometrie und Funktionalanalysis ermöglicht. Die spätere Quantenfeldtheorie erfordert ebenfalls eine intensive Auseinandersetzung mit mathematischen Methoden und wirft wiederum interessante mathematische Fragen auf.

Das Ziel des Seminars besteht zunächst in der Diskussion einiger mathematischer Grundlagen für Quantenfeldtheorie, insbesondere Vektorbündel, charakteristische Klassen, Index- und Spektraltheorie elliptischer Operatoren, algebraische Varietäten und vieles mehr. Diese Werkzeuge wenden wir anschließend in der Diskussion der Yang-Mills Theorie, sowie konformer und topologischer Quantenfeldtheorie an.

Charles Nash "Differential Topology and Quantum Field Theory" ist das Leitwerk.